Стерилизация кошки.

Здравствуйте. Нашей кошке примерно 1 год, беспородная. Кормим мясом, печенкой, рыбной запеканкой, кашами: пшеничной, манной, пшенной, рисовой, иногда даем плов и фрискис. Кошку подобрали на улице вместе с котом (они тогда были котята, примерно 5 месяцев). Кот большой, почти все ест и витамины, тоже ест. Кошка маленькая, худенькая, похожа на подростка, в еде более избирательна и витамины не ест (с едой тоже пробовали давать, не кушает), но активная. Дегельминтизацию проводили 2 раза, коту и кошке. Прививки еще не делали т. к. наш ветеринар сказал что сначала нужно стерилизовать кошку, а уже потом прививать. Обработку от блох не проводили. Кот кастрирован.
Кошка с самого начала когда мы ее подобрали кашляла. Возили к ветеринару, делали уколы: Амоксициллин, Гамавит, Эуфилин. Кашель на время прошел, но потом снова начался. Потом мы снова делали ей уколы, но все повторилось. Также у нее 2 раза был стул с кровью, она мяукала когда испражнялась. Сейчас кашля нет, но проблемы с испражнением иногда присутствуют. Подскажите пожалуйста:
1)Стоит ли стерилизовать кошку?
2)Через какое время после течки можно стерилизовать кошку?
3)Сколько дней длиться течка и как часто повторяется?
4)Может ли быть какой-то вред если не стерилизовать кошку?
5)Лучше сначала стерилизовать или прививать кошку?
6)Кошку и кота прививать нужно вместе или можно в разное время?