Кошка начала писать на диваны

Нашей кошке около года или чуть больше, точный возраст не знаю, взяли с улицы. Вроде бы нормально приучили к лотку, в качестве наполнителя использовали порванную газету, чтоб могла закапывать, но некоторое время спустя она начала писать на одеяла и покрывала. может написать даже на спящего человека. С наполнителем у нее проблем нет, если лоток чистый - писает туда, но только если в нем есть газета, в туалет ходит часто, стараемся менять лоток после каждого ее похода туда, но не всегда есть возможность: ночью, например, или когда все на работе-учебе. Бывает застукиваем ее на месте преступления, спугиваем, она прекрасно знает, что на диваны писать нельзя, но все равно продолжает это делать. Если говорить про саму кошку, то она, вроде бы, не больна: глаза и уши чистые, мы ее проглистовали, блох вывели. Правда, очень пуганная: домочадцев любит, а посторонних людей пугается и, если свои начинают на нее ругаться, тоже убегает и забивается в угол, стараемся подпаивать ее валерьянкой, но это не особо помогает. Искала способы решения проблемы на форумах, там советуют ограничить доступ кошки к «месту преступления», но у нас нет такой возможности: квартира однокомнатная, дверь в комнату закрывается, но кошка уже научилась открывать ее, а на кухне, где тоже стоит тахта, двери вообще нет. Еще советовали закрывать кошку в туалете на несколько дней, чтоб приучить ее к лотку, не слишком ли это жестоко? и поможет ли в данном случае стерилизация?